Постоянная вторая производная. Золотое сечение. Ньютонова оптимизация
«Что за нелепый набор букв? — возможно, скажите вы, — это что интеллектуальный клуб Mensa?».
Не совсем, фразы приведённые в начале статьи проливают свет на то, как небольшой группе людей удалось создать одну из лучших и самых справедливых структур выплат, такого на World Series of Poker ещё не было.
«В этом году система выплат действительно хороша, скажу больше, это просто мечта любого профессионального игрока», — с гордостью заявляет Джек Эйфель директор WSOP.
Покер включает в себя множество компонентов: бесстрашные коллы, агрессивные олл-ины, своевременные сбросы и многое другое. Но, наверное, самой важной составляющей покера являются деньги: сколько получит победитель? Сколько людей попадут в призы? Какова будет разница между призовыми местами?
Такими вещами нельзя пренебрегать. Мэтт Сэведж, директор турниров, вызывающий всеобщее уважение, организовавший на своём веку сотни состязаний, говорит, что структура выплат определяет, будет ли вообще игрок принимать участие в турнире.
«Если игрок попадает в призы удваивает бай-ин, скорее всего, он примет участие в турнире в следующий раз, если же у него не получается сделать это, скорее всего, следующий раз в турнире он участвовать не будет. Если весь призовой фонд уходит небольшой группке игроков, то призовой фонд турнира начнёт с годами сокращаться», — говорит Мэтт.
Начиная с 2005 года, Джне Эйфель и небольшая группа его неутомимых единомышленников в поте лица трудились над созданием более совершенной системы выплат на World Series. И вот, наконец, после четырёх лет напряжённой работы они, наконец, добились успеха. Эйфель настолько уверен в своей системе, что считает её практически идеальной.
«Я думаю, что отныне буду всё время использовать эту систему», — с гордость заявляет он.
От турниров, где победитель получает всё до пропорциональной структуры выплат
Джек Макклеленд, организатор турниров с двадцатипятилетним стажем, рассказывает: «Когда я только начинал заниматься этим бизнесом, на всех крупных турнирах уровня World Series призовой фонд распределялся следующим образом: 50% — победителю, 20% за второе место и 10% за третье. Из-за такой системы выплат участие в турнирах такого рода было слишком рискованным».
Сейчас невозможно себе представить, что было бы, если такая структура использовалась и сегодня. Если бы в прошлом году главный турнир WSOP проходил по схеме «победитель получает всё», то Питеру Истгейту, действующему чемпиону, досталась бы невероятная сумма в $32М.
Конечно, если бы главный турнир WSOP проходил по схеме, где победителю достаётся пятьдесят процентов выигрыша, то вряд ли бы он вызывал такой ажиотаж и привлекал за игральные столы столько игроков. Если бы не структура выплат, в результате которой, по крайней мере, десять процентов участников получают определённую прибыль, вряд ли бы кто-нибудь отважился платить за участие в этом турнире такой огромный бай-ин, что в свою очередь существенно сократило бы призовой фонд.
Мэтт Севедж пологает, что сегодня необходимо использовать пропорциональную структуру, которая применяется на покерных турнирах в интернете.
«Нужно брать пример с структуры выплат онлайн покера, где победитель, как правило, получает от 12 до 15 процентов призового фонда»
В популярном онлайн турнире PokerStars Sunday Million победителю достаётся пятнадцать процентов призового фонда (в зависимости от числа участников).
«Несмотря на то, что многие игроки говорят, что хотят бороться за более крупный главный приз, большинство из них с радостью воспримут весть о том, что число призовых мест в турнире увеличилось. Пропорциональная система выплат куда более выгодна для игроков», — говорит Севедж.
Но даже и с пропорциональной структурой выплат были сложности рание. Когда Эйфелю было доверено разработать структуру выплат для главного турнира WSOP в 2005 году, в котором зарегистрировалось 5619 человек, он понял, что всё не так просто, как кажется на первый взгляд.
«Ещё никому не доводилось разрабатывать схему выплат для такого крупного турнира», — заявил он. Сперва Эйфель пытался разработать схему выплат вручную, но вскоре понял, что это невоз
можно. Один он бы не справился, к счастью, Джек знал, кто может ему помочь.
Условная оптимизация
В помощники себе Эйфель избрал, доктора Адама Шварца, профессора делового администрирования и эксперта в области числового программирования и финансового моделирования Университета Вашингтона и Ли, у которого он в своё время учился в Миссисипском университете. Разумеется, старый учитель подал своему подопечному руку помощи.
«Раньше, когда в турнирах ещё не принимало участие такое невообразимое количество игроков, организаторы просто брали ручку и листок бумаги и быстренько набрасывали схему выплат, но, когда приходится иметь дело с таким полем, ситуация меняется коренным образом и выходит из под контроля», — рассказывает профессор Шварц.
И тут нам на помощь приходит теория, которую разработал Исаак Ньютон в конце первого десятилетия 17 века.
«Речь идёт об условной оптимизации, эта математическая проблема, когда у вас ограниченные ресурсы и множество сдерживающих факторов. В данном случае в роли сдерживающего фактора выступало допустимое различие в выплатах между призовыми местами», — рассказывает профессор Шварц.
В конце первого дня главного события WSOP-2005 Эйфель позвонил Шварцу и вкратце изложил суть проблемы, он рассказал своему учителю о количестве игроков, которые принимают участие в турнире. Всего через полчаса профессор Шварц разработал специальную модель выплат, в которую затем были внесены некоторые изменения организаторами, после этого она была представлена на суд общественности в казино Rio.
«Конечно, структура выплат была ещё далека от идеала, но её вполне можно было улучшить», — рассказывает Эйфель.
Схема выплат образца 2005 года была не без изъянов, например, разница между сорок пятым и сорок шестым местом составляла около $62 000, а между тридцать седьмым и тридцать шестым $39 000.
Несоответствия были даже более ярко видны на примере выплат первой десятке. Игрок, занявший десятое место, получал $600 000, а тот, кому досталось девятое уже $1М, за восьмое место игрок получал $1,15М. Другими словами, выигрыши росли не совсем пропорционально.
Эйфель знал, что все эти несоответствия необходимо исправить.
Как разработать идеальную структуру выплат
В 2006 году организаторы разрабатывали все схемы выплат в ручную, на это ушло очень много времени, но им всё равно так и не удалось создать идеальную систему.
К сожалению, пока Джейми Голд не получил главный приз в $12М, организаторы в должной мере не осознали тот факт, что структура выплат предполагает слишком большие выплаты победителю.
Когда WSOP-2006 подошёл к концу, Барри Гринштейн пришёл к Эйфелю и сказал: «Мужик, так жить нельзя! Победитель получает слишком много, всё должно выглядеть иначе».
Гринштейн предложил следующее: «Схема выплат должна выглядеть следующим образом. Игрок, занявший первое место, должен получать $10М, а не $12М, а выплаты должны расти более плавно».
Конечно, Гринштейну было легко рассуждать, поскольку он знал число игроков, которые зарегистрировались в турнире.
Зато теперь у Эйфеля появилась модель, которую можно было положить в основу для создания более совершенной схемы выплат. Кроме того, в 2007 году Говард Ледерер предложил Эйфелю свою помощь в разработке более совершенной схемы выплат.
«В 2007 мы с Говардом Ледерором использовали модель для 8733 игроков, которую предложил Гринштейн годом ранее, мы перевели число игроков в проценты и расписали на этом основании, сколько должен получить каждый игрок, занявший призовое место, работа была не из лёгких, она заняла около 200 часов, но зато наша система стала немного лучше», — рассказывает Эйфель.
Но, как говорится, нет предела совершенству, и Гринштейн вновь подошёл к Эйфелю и рассказал ему о том, что необходимо исправить в будущем: «Необходимо изменить структуры выплат за финальным столом, нужно использовать правило золотого сечения».
«Золотое сечение – это правило, которое определяет соотношение самого крупного и самого мелкого числа, которое уходит корнями ещё в Древнюю Грецию», — объясняет Эйфель.
Это правило трудно объяснить, но ещё труднее осуществить.
«Сделать это вручную практически невозможно», — говорит Эйфель.
Можно использовать модель 2008 года, но этого недостаточно, необходимо помощь человека, который разбирался бы не то
лько в покере, но и в математике. К сожалению, ни Гринштейн, ни Эйфель на данную роль не подходили, поэтому им пришлось вновь обратиться за помощью к Адаму Шварцу.
Для разработки схемы выплат для финального стола была использована условная оптимизации наряду с правилом золотого сечения. Теперь Гринштейн, Эйфель и Шварц, имели чёткое представление о необходимой им структуре выплат.
«Адам претворил нашу задумку в жизнь», — говорит Эйфель.
«С одной стороны это искусство, а с другой математика. Барри, Джек и я написали друг другу более 60 писем. Мы упорно трудились над созданием идеальной модели выплат. Барри и Джек делились со мной опытом разработки схем выплат для турниров, а я пытался перевести всё это на язык математики», — рассказывает Шварц
Шварц был полон решимости исправить все предыдущие огрехи.
«Моей целью было создать систему плавного роста выигрышей, чтобы сделать это, необходимо было ввести вторую постоянную вторую производную», — говорит Шварц.
После долгой работы, которая длилась более четырёх лет, Эйфель считает, что система выплат на World Series практически идеальна.
Если бы новая структура использовалась бы в прошлом году при том же количестве участников, то миллионерами стали бы не 8, а 12 игроков, а Истгейту досталось бы не $9,1М, а $8,7М.
«Первые места в турнирах по покеру должны хорошо оплачиваться и в победителя 2009 года по-прежнему ожидает солидный денежный приз», — заявляет Эйфель.
После введения новой системы выплат вряд ли кому-либо удастся выиграть столько, сколько сумел заработать в своё время Голд. Даже если в этом году турнир соберёт за столами более 10 000 участников, выигрыш победителя всё равно не превысит десяти миллионов долларов.
Новая схема выплат создана для игроков. Нет сомнения в том, что она окажется для них выгодной.
